DDE Note Week 1

第一週：什麼是DDE？

mixer：就當作水龍頭，冷熱水交互的地方
$T (t)$ ：mixer在時間 $t$ 的溫度
$τ$ ：水從mixer流到蓮篷頭的時間(time delay)
$T_{d}$ ：你想要的溫度
$ϕ (t)$ ：前歷史(prehistory)
所以你感覺到的水溫應該是 $T (t - τ)$ 。

水溫變化的幅度和你轉水龍頭的角度成正比，係數 $k$ (想成你轉水龍頭的速度)

\frac{d}{d t} T (t) := \dot{T} (t) = - k (T (t - τ) - T_{d})

$k$ 前面的負號是負回饋的意思ie 水溫比預期大應該是往下調

舉例來說，DDE洗澡方程只能apply到 $t \geq 0$ 的時候，想知道時間 $= s < τ$ 的時候的溫度變化，就需要有 $T (s - τ)$ 這個初值。
以此類推，會需要某一整段時間的初值，
所以這邊DDE要求的「初值」不再是一個單一的值，而是一個函數定義在 $[- τ, 0]$

前歷史簡單起見目前先假設連續

(c.f. NTHU MATH 526500 DDE Note week 1)

在discrete delay的DDE中，可以拿第0步(前歷史)代入DDE解出第1步在 $[0, τ]$ 上
拿第1步再代回去解出第2步在 $[τ, 2 τ]$ 上
以此類推

(c.f. NTHU MATH 526500 DDE Note week 1)

在discrete delay DDE中，用Method of steps解出來的解，會因為當下這一段是用前一段積出來的，會比前一段多一層可微性
然後在時間段的端點處微分也得拆成左微和右微

(c.f. NTHU MATH 526500 DDE Note week 1)

(更2024-09-11) From 作業：

不太確定有沒有理解錯，我記得在ODE中，不同的解是不可能相交的(by存在唯一？)
但在作業中就直接給了一個很簡單的例子說明DDE不同的解是可以相交的。
這會不會代表過往的一些存在唯一的東西在DDE已經不適用了？

雖然這個方法就已經告訴你解了，但寫出來很醜，然後你看不出他的行為，例如時間跑到無窮大會發生什麼事
如果你的delay也和時間有關(distributed delay $\leftrightarrow$ discrete delay)，這個方法也沒辦法解(why?)

[[IMG-20240911224943441.pdf]]